Deformations of equations and structures in nonlinear problems of mathematical physics

Wiskundig probleem van Mathieu na lange tijd opgelost

Andrey Krutov verrichtte onderzoek naar het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen, een tak van de wiskunde die van groot belang is voor het beschrijven van natuurverschijnselen.

Veel processen in de natuur kunnen met behulp van partiële differentiaalvergelijkingen (PDVs) beschreven worden. Bijvoorbeeld wordt warmtetransport gemodelleerd met behulp van de warmtevergelijking. In haar meest eenvoudige vorm noteert met h(x,t) voor de temperatuur op een plaats x en een tijdstip t. De warmtevergelijking drukt uit, dat de mate waarin h(x,t) verandert met betrekking tot de tijd t, evenredig is met de mate waarin de verandering van h(x,t) met betrekking tot de plaats x, verandert met x.

Dit voorbeeld levert een lineaire PDV, maar er bestaan veel natuurverschijnselen die zich alleen maar met niet-lineaire vergelijkingen laten beschrijven. Het was een belangrijke ontdekking dat sommige klassen van niet-lineaire PDVs effectief op te lossen zijn. De Korteweg - De Vries vergelijking (die een golf in ondiep water beschrijft) levert een veel bestudeerd voorbeeld van een exact oplosbare niet-lineaire PDV.

Dit soort vergelijkingen zijn van groot belang, en ze hebben een uitzonderlijk breed toepassingsgebied (ze beschrijven bijvoorbeeld golven in een kanaal, tsunami's, het verspreiden van licht zoals beschreven in de niet-lineaire optica en nog veel meer). Belangrijke hulpmiddelen bij de studie naar eigenschappen van PDVs die natuurverschijnselen beschrijven, zijn de natuurkundige behoudswetten en symmetrieën.

Deze wisselwerking tussen natuurkunde en wiskunde leidt tot een mooi en boeiend onderzoeksgebied, waaraan dit proefschrift verwacht bij te dragen. Een cruciaal hulpmiddel in dit proefschrift is het concept van gladde deformaties. Met behulp van een synthese van klassieke en nieuwe meetkundige technieken lossen we het probleem van Mathieu op, dat lange tijd een onopgelost probleem in de meetkunde van exact oplosbare PDVs is geweest.

Het onderzoek werd uitgevoerd bij het Johann Bernoulli Instituut van de RUG. Krutov gaat verder met onderzoek aan de Ivanovo State University (Rusland).