High-dimensional Poisson–Voronoi geometry and threshold phenomena
Hoogdimensionale Poisson-Voronoi meetkunde en drempelwaardes
Dit proefschrift gaat over stochastische meetkundige structuren en hun faseovergangen. Dat zijn plotselinge veranderingen in gedrag wanneer een parameter een kritieke waarde bereikt. Hoge dimensies spelen daarbij een centrale rol. Onze meetkundige intuïtie schiet daar vaak tekort, terwijl veel stochastische grootheden juist verrassend voorspelbaar worden.
Het eerste deel bestudeert percolatie in Poisson–Voronoi-tessellaties en de verwante Gabriel-graaf. Elke cel of knoop wordt onafhankelijk open verklaard, en we vragen wanneer een oneindige samenhangende component kan ontstaan. In hoge dimensies wordt de drempel grotendeels bepaald door het verwachte aantal buren van een typische knoop.
Het tweede deel gaat over de random Borsuk-graaf. Willekeurige punten worden op een bol geplaatst en bijna antipodale punten worden verbonden. We vragen wanneer de graaf meer kleuren nodig heeft. Voor verschillende overgangen van het chromatische getal vinden we scherpe drempels. Een kleine verandering in de verbindingsafstand kan een grote omslag in het gedrag veroorzaken.
In het laatste deel keren we terug naar de Poisson–Voronoi-tessellatie en bekijken we de vorm van een typische cel. Na een natuurlijke herschaling worden de straal van de grootste ingeschreven bol en die van de kleinste omsluitende bol, de diameter en de gemiddelde breedte bijna deterministisch. Toch verandert de cel niet in een gladde bol. De polyedrische structuur blijft zichtbaar.
De rode draad is dat hoge dimensies zowel regelmaat als complexiteit brengen. Globale eigenschappen worden voorspelbaar, terwijl de lokale meetkunde nog steeds voor uiteenlopende en soms verrassende faseovergangen zorgt.