The low-lying spectrum of rank-varying sub-Riemannian manifolds
De laagste frequenties in sub-Riemanniaanse variëteiten
Het proefschrift gaat over de relatie tussen de meetkunde van een ruimte en de frequenties waarmee fysieke systemen kunnen trillen. In het bijzonder richt het zich op de laagste frequenties, die horen bij ruimtes waarvan de meetkunde algemener is dan de bekende meetkunde van gekromde oppervlakken en ruimtes met meer dimensies. Deze ruimtes, die sub-Riemanniaanse variëteiten worden genoemd, beperken op bepaalde punten de richtingen waarin men zich kan bewegen. Dit maakt ze geschikt voor het beschrijven van uiteenlopende wiskundige en natuurkundige verschijnselen, maar betekent ook dat veel klassieke wiskundige technieken niet rechtstreeks kunnen worden toegepast. Martijn Kluitenberg ontwikkelde nieuwe methoden om de laagste frequenties van zulke ruimtes te bestuderen en onderzoekt daarbij drie hoofdrichtingen.
Ten eerste wordt een klassiek resultaat uitgebreid dat het verband beschrijft tussen de vorm van een ruimte en haar laagste non-triviale frequentie. Dit levert nieuwe ondergrenzen op in situaties waarin de meetkundige eigenschappen van punt tot punt kunnen veranderen.
Ten tweede worden deze resultaten toegepast op de wiskundige beschrijving van magnetische velden. Een verrassend verband maakt het mogelijk om magnetische velden te bestuderen met behulp van hetzelfde meetkundige kader. De nieuwe methoden geven daarmee informatie over de laagste energieniveaus van systemen die door magnetische velden worden beïnvloed.
Tot slot wordt onderzocht hoe de meetkunde kan worden vereenvoudigd door de manier waarop afstanden worden gemeten te veranderen. Hierbij wordt gekeken naar tweedimensionale ruimtes met singulariteiten. Een klassieke stelling die de mogelijke vormen van gewone tweedimensionale ruimtes beschrijft, wordt uitgebreid naar deze algemenere situatie.
De resultaten laten zien hoe meetkundige ideeën kunnen worden ontwikkeld voorbij de klassieke context en kunnen worden toegepast op problemen uit de mathematische fysica. Daarnaast biedt het proefschrift een introductie tot de wiskundige achtergrond die nodig is om deze verbanden te begrijpen, waarbij ideeën uit de meetkunde, spectraaltheorie en de studie van magnetische velden worden samengebracht.