Discrete geometry approach to structure-preserving discretization of port-Hamiltonian systems

Promotie: dhr. M. Seslija, 14.30 uur, Academiegebouw, Broerstraat 5, Groningen

Proefschrift: Discrete geometry approach to structure-preserving discretization of port-Hamiltonian systems

Promotor(s): prof.dr.ir. J.M.A. Scherpen, prof.dr. A.J. van der Schaft

Faculteit: Wiskunde en Natuurwetenschappen

Van continue naar discrete wiskunde

Computers zijn onmisbaar geworden voor het analyseren en simuleren van complexe fysische systemen, waarbij het de kunst is om de fysische realiteit om te zetten in iets wat omschreven zou kunnen worden als hapklare brokken voor de computer. ‘Continue’ wiskunde moet daarbij vertaald worden naar ‘discrete’ wiskunde, liefst met zo min mogelijk verlies. Dat is waar Marko Seslija zich in zijn proefschrift mee bezig houdt.

Seslija behandelt de structuurbehoudende discretisatie van open verdeelde-parameter systemen met gegeneraliseerde Hamiltoniaanse dynamica. Gebruikmakend van het formalisme van discrete uitwendige differentiaalrekening voert Seslija simpliciale Diracstructuren in als discrete analogieën van de Stokes-Diracstructuur. Hij laat zien hoe zij een natuurlijk kader bieden om eindigdimensionale poort-Hamiltoniaanse systemen af te leiden die hun oneindigdimensionale tegenhangers nabootsen. Het ruimtelijke domein, in de continue theorie weergegeven door een eindigdimensionale gladde variëteit met rand, wordt vervangen door een homologisch simpliciaal complex en zijn circumcentrische duale. De gladde differentiaalvormen worden in de discrete context vervangen door co-ketens op de primaire en duale complexen, terwijl de discrete uitwendige afgeleide wordt gedefinieerd met behulp van de duale randoperator.

Deze benadering door middel van de meetkunde van discrete uitwendige differentiaalrekening maakt het mogelijk om, anders dan het discretiseren van de partiële differentiaalvergelijkingen, eerst de onderliggende Stokes-Diracstructuur te discretiseren en daarna de eindigdimensionale poort-Hamiltoniaanse dynamica hierop te definiëren. Op deze manier worden een aantal belangrijke intrinsieke topologische en meetkundige eigenschappen van het systeem behouden.

Hij past deze algemene beschouwingen toe op een aantal fysische voorbeelden, waaronder reactie-diffusie systemen, in welk geval de structuurbehoudende discretisatie het standaard compartimentele model oplevert. Vervolgens laat hij zien hoe op een soortgelijke manier een Poissonsymmetrie reductie van Diracstructuren geassocieerd met oneindig- en eindigdimensionale modellen kan worden uitgevoerd.

Marko Seslija (Kroatië, 1984) studeerde Automatic Control and Electronics aan de universiteit van Sarajevo. Het onderzoek werd uitgevoerd aan de afdeling Discrete Technology and Production Automation van de RUG en gefinancierd door NWO.