Knippen in de oneindigheid

Voor onderhoudende experimenten heb je niet per se een groot laboratorium nodig. Met een stukje papier en een schaar maak je kennis met oneindigheid.

Stel je een oneindig groot gebouw voor; een reusachtige toren uit grote blokken donker basalt, de bovenste verdiepingen omgeven door ijle wolkenslierten. In de oneindig grote toren zit een oneindig aantal aapjes achter een oneindig aantal typemachines de hele dag te hameren. Vel na vel schrijven de aapjes vol: betekenisloze lettercombinaties en pagina’s vol met dubbele punten. Maar als je lang genoeg wacht, typt zo’n aap altijd iets bijzonders: het woord “banaan” of de eerste twee zinnen uit De Avonden of een betoog tegen de oorlog in Irak.

Het thema van de oneindig typende aapjes die toevallig literatuur produceren, het zogeheten Infinite Monkey Theorem, wordt beschreven in het essay La biblioteca total (1939) van de Argentijnse schrijver Jorge Luis Borges. De kans dat een aap Hamlet of de opening van De Avonden reproduceert, is overigens niet zo heel erg groot. Stel bijvoorbeeld dat het beestje werkt op een standaardtoetsenbord met 105 toetsen en dat het de naam Bokito moet typen. De kans dat de eerste letter goed op papier komt is 1/105, ofwel 0,0095. De kans dat vervolgens de tweede letter ook goed op papier komt is (1/105)x(1/105)=­0,0000907. Voor de hele naam is de kans (1/105)6, nul-komma-twaalf-nullen-en-een-zeven.
Waarom deze uiteenzetting over apen, literatuur en oneindigheid? Omdat het aansluit bij het commentaar van Drs. P. op het fenomeen limerick. In zijn boek Versvormen (2000) schrijft hij dat er “myriaden van die dingen geschreven [zijn]. Daaronder – dat is statistisch voorspelbaar – bevinden zich geestige.”

En verdraaid: bij de research voor deze Boem dook zowaar een aardige en bovendien wetenschappelijk verantwoorde limerick op – daarvoor hoefden we trouwens niet verder te zoeken dan dat moderne wonder van objectieve betrouwbaarheid Wikipedia.

A mathematician confided
That a Möbius band is one-sided,
And you’ll get quite a laugh,
If you cut one in half,
For it stays in one piece when divided

Een moebiusband is een object met maar één vlak en één rand. Dat klinkt misschien wat abstract, maar je kunt de vorm zelf in elkaar knutselen met een strook papier. Knip daarvoor van een A4’tje een strook van vier centimeter breed. Breng de uiteinden naar elkaar maar draai een kant een halve slag voor je de eindjes vastplakt. Eventueel kun je eerst nog in de lengterichting een streep op het papier zetten.

Maak nu met de punt van een schaar voorzichtig een gaatje in het midden van het papier en knip de dichtgeplakte strook in de lengterichting door midden. Wat gebeurt er? Je zou verwachten dat de ring in twee afzonderlijke helften uit elkaar valt, precies zoals dat gebeurt als je een gewone ring in de lengterichting doorknipt. Dat gebeurt dus niet. In plaats van twee ringen krijg je een grote, smalle moebiusband met twee keer de omtrek van de eerste ring.
Waarom dat gebeurt, kun je eenvoudig laten zien. Maak een nieuwe strook en teken daarop niet alleen een middenstreep, maar zet links en rechts van die streep, zowel boven als onderaan de strook, de letters A en B. Als je de strook dichtplakt zie je wat er gebeurt: de A komt op de B en de B komt op de A. Of, anders gezegd: als je ring A volgt, verandert die halverwege in ring B en als je daarna verder gaat met ring B verandert die uiteindelijk weer terug in ring A.
Huiswerk: wat gebeurt er als je de nieuwe, grote ring nog een keer doormidden knipt?

Auteur: Ernst Arbouw