Skip to ContentSkip to Navigation
Over ons Faculty of Science and Engineering Promoties

P-adic integration on hyperelliptic curves of bad reduction: algorithms and applications

Promotie:Dhr. E. (Enis) Kaya
Wanneer:01 oktober 2021
Aanvang:11:00
Promotor:prof. dr. J. Top
Copromotor:J.S. (Steffen) Müller, Prof
Waar:Academiegebouw RUG
Faculteit:Science and Engineering
P-adic integration on hyperelliptic curves of bad reduction:
algorithms and applications

Onderzoek naar getallen

P-adische getallen worden gebruikt om eigenschappen van gehele getallen beter te begrijpen, maar het zijn zelf geen gehele getallen, zelfs geen reële of complexe getallen. Voor krommen over het lichaam van p-adische getallen bestaan er twee noties van p-adische integratie: Berkovich–Colemanintegralen, die lokaal bepaald worden, en Vologodsky-integralen met goede getaltheoretische eigenschappen. Deze integralen hebben het voordeel dat ze ongevoelig zijn voor het reductietype bij p, maar het is bekend dat ze samenvallen met Colemanintegralen in het geval van goede reductie. Daarnaast zijn er praktische algoritmen beschikbaar voor het berekenen van Colemanintegralen.

Berkovich–Coleman- en Vologodsky-integralen zijn echter in het algemeen verschillend. In zijn proefschrift geeft Enis Kaya een formule om tussen de twee heen en weer te gaan. Hiervoor gebruikt hij combinatorische ideeën vanuit de tropische meetkunde. Daarnaast introduceren we algoritmen voor het berekenen van Berkovich–Coleman- en Vologodsky-integralen op hyperelliptische krommen van slechte reductie. Door zo’n kromme met basale wijde open ruimtes te overdekken, reduceren we de berekening van Berkovich–Colemanintegralen tot de al bekende algoritmen voor hyperelliptische krommen met goede reductie. Vervolgens zetten we de Berkovich–Colemanintegralen om tot Vologodsky-integralen met behulp van onze formule.

Als een toepassing geven we een algoritme voor het berekenen van Coleman-Gross p-adische hoogtes op Jacobianen van hyperelliptische krommen met slechte reductie, waarvan de definitie is gebaseerd op Vologodsky-integratie. Dit algoritme kan bijvoorbeeld gebruikt worden in de kwadratische Chabautymethode om rationale punten op krommen van geslacht minstens twee te vinden.

Het promotieonderzoek van Enis Kaya vond plaats bij de afdeling Algebra van het Bernoulli Instituut met financiering van de RUG. Hij werkt nu als postdoc aan het Duitse Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences.