Skip to ContentSkip to Navigation
Over ons Actueel Evenementen Promoties

Variations on the method of Chabauty and Coleman

Promotie:S. (Stevan) Gajovic
Wanneer:07 juli 2022
Aanvang:09:00
Promotor:prof. dr. J. Top
Copromotor:J.S. (Steffen) Müller, Prof
Waar:Academiegebouw RUG
Faculteit:Science and Engineering
Variations on the method of Chabauty and Coleman

Rationele punten op een kromme

Een van de belangrijkste resultaten in de Diophantische meetkunde is de eindigheid van het aantal rationale punten op mooie krommen van geslacht ten minste 2. Er zijn echter geen praktische methoden om de rationale punten op zulke krommen in het algemeen te berekenen, maar de methode van Chabauty en Coleman is een van de meest succesvolle benaderingen. Stevan Gajovic bespreekt variaties op deze methode.

Indien van toepassing, geeft de methode van Chabauty en Coleman een bovengrens aan het aantal rationale punten. Gajovic bestudeerde eerst krommen die aan deze limiet voldoen. Krommen die de bovengrens bereiken zijn zeldzaam en moeilijk te vinden; hij construeerde verschillende nieuwe voorbeelden.

Wanneer een kromme aan een sterkere rangvoorwaarde voldoet, kan de methode van Chabauty en Coleman uitgebreid worden tot de studie van punten op symmetrische machten van krommen, die ons informatie kunnen verschaffen over punten gedefinieerd over getallenlichamen van kleine graad. Deze methode wordt Symmetrisch Chabauty genoemd. Gajovic breidde de Symmetrische Chabautymethode uit, zodat men de kubische of kwartische punten kan bepalen op bepaalde modulaire krommen.

De beperking van de methode van Chabauty en Coleman is de rangvoorwaarde. Er is een variatie op de methode die in dit geval gebruikt zou kunnen worden, de zogenaamde niet-abeliaanse Chabauty. Wanneer we p-adische hoogten gebruiken om een lokaal analytische functie te construeren, heet een speciale expliciete variant genaamd Kwadratische Chabauty. Gajovic presenteert een algoritme om p-adische hoogten te berekenen op evengraads hyperelliptische krommen en om Kwadratische Chabauty toe te passen om gehele punten te berekenen op bepaalde evengraads hyperelliptische krommen.

Stevan Galovic verrichtte zijn promotieonderzoek bij de afdeling Algebra van het Bernoulli Instituut met financiering via de Deutsche Forschungsgemeinschaft. Hij werkt nu als postdoc aan het Max Planck Institute for Mathematics in Bonn.